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sides:ref-trans:imagerie_dfgsm:chapitre_9_reconstruction_tomographique

Chapitre 9 Reconstruction tomographique

F. Ben Bouallègue and D. Mariano-Goulart

Plan du chapitre

  1. Introduction 
  2. Notion de projection 
  3. Conditionnement 
  4. Modélisation 
  5. Rétroprojection filtrée 
  6. Reconstruction itérative 

Objectifs

L'imagerie médicale repose schématiquement sur l'acquisition d'un signal physique, sur l'optimisation de ce signal (filtrages), sur sa mise en forme pour en faciliter l'utilisation médicale (reconstructions) puis sur son analyse (extraction d'éléments diagnostiques) qui fera l'objet du chapitre « Traitement de l'image reconstruite ». Parmi les divers types de reconstructions possibles, la reconstruction tomographique joue un rôle central en tomodensitométrie (TDM), en imagerie par résonance magnétique (IRM) et en tomoscintigraphie d'émission. Elle fait l'objet de ce chapitre qui explique en quoi la reconstruction d'images tomographiques relève d'un problème linéaire mal conditionné et sur quels principes fonctionnent les algorithmes de rétroprojection filtrée et les techniques itératives de reconstruction. Il exclut tout formalisme mathématique, mais pourra servir d'introduction à l'approfondissement plus complet [1], mais aussi plus scientifique de la tomographie médicale.

Introduction

Avec W. Röntgen et H. Becquerel, puis la famille Curie, le XIXe siècle finissant avait vu éclore une physique des rayonnements ionisants qui permettait pour la première fois de visualiser les organes internes d'un patient de façon non invasive. Le développement de l'imagerie radiologique qui suivit très vite, puis de l'imagerie scintigraphique resta cependant longtemps cantonné à la production d'images de projections où les signaux issus des divers plans perpendiculaires au rayonnement incident se superposaient sur un plan unique, rendant complexe l'interprétation médicale. Les solutions théoriques qui permirent de résoudre cette difficulté et de disposer d'une imagerie volumique ou reconstruite en coupes existaient pourtant dès le début du XXe siècle, avec les travaux des mathématiciens J. Radon en 1917 et S. Kaczmarz en 1937. Mais il fallut attendre l'intervention d'un ingénieur talentueux, G.-N. Hounsfield au tout début des années 1970, le développement des calculateurs numériques qui accompagna la conquête de la Lune, puis le parrainage financier d'une société d'édition musicale qui bénéficiait dans les années 1960 du succès phénoménal de quatre chanteurs à la mode venus de Liverpool pour que naisse la tomographie médicale et que les premiers scanners prennent peu à peu la place qu'on leur connaît de nos jours dans le diagnostic médical.

Notion de projection

Presque universellement numérisées, les techniques modernes d'imagerie médicale visent à mesurer la distribution volumique de certaines caractéristiques physiques d'un patient qui sont supposées uniformes au sein de petits cubes (les voxels) pavant le volume à explorer [2].

En TDM, on enregistre l'intensité d'un faisceau X après la traversée d'une série de voxels (numérotés par le nombre entier j variant de 1 à n) alignés et disposés entre la source de rayonnement et le détecteur X (figure 9.1). Chaque voxel j atténue le rayonnement X incident avec une probabilité par unité de longueur définie par le coefficient linéique d'atténuation μj du tissu contenu dans le voxel. Cette probabilité est proportionnelle à la masse volumique de ce tissu. Cela conduit à attribuer au voxel j de dimension d, une atténuation de l'intensité du rayonnement X incident par un facteur exp(–μj.d).


Figure 1: Projections et reconstructions en TDM et en tomoscintigraphie.

Après la traversée des n voxels qui séparent le détecteur de rayonnement X de sa source, le faisceau d'intensité initiale I0 est donc atténué d'un facteur exp(–μ1.d).exp(–μ2.d) exp(–μn.d). Si l'on prend en compte le fait que seule une fraction ri,j (variant entre 0 et 1 = 100 %) du voxel j contribue à la projection i, l'intensité qui sera détectée s'exprime sous la forme (figure 9.2) :

(1)


Figure 2: Modélisation de projections.

Soit encore en introduisant la projection pi:

(2)

Dans la relation linéaire (2), les valeurs des coefficients ri,j ne dépendent que de la géométrie de l'appareil d'imagerie et sont connues, tout comme I0 et d, et la valeur de la projection pi est issue de la mesure de Ii. En revanche, les coefficients μj sont des valeurs inconnues proportionnelles aux densités des voxels explorés. L'objet de la reconstruction tomographique est de déterminer les valeurs de chaque coefficient μj à partir d'équations linéaires du type (2). Elle permettra de calculer une image de synthèse 3D constituée de coupes axiales 2D dans lesquelles les valeurs de chaque pixel sont proportionnelles aux densités des tissus (figure 9.1).

Dans le cas d'une tomoscintigraphie, la nature du signal recueilli est similaire. Lorsque l'image est acquise au moyen d'un collimateur parallèle, chaque élément de détection compte le nombre de photons gamma résultant de l'activité des voxels du patient le long d'une perpendiculaire au détecteur passant par l'élément de détection. Il en découle l'acquisition de projections formellement identiques à l'équation (2) :

(3)

où les inconnues aj sont proportionnelles à l'activité de chaque voxel j. En TEP, la détection en coïncidence opère une collimation analogue et la relation (3) reste pertinente.

En TDM, comme en scintigraphie, les signaux acquis s'identifient donc à une projection, c'est-à-dire à la somme pondérée de grandeurs physiques fj (les inconnues μj ou aj) le long d'une certaine direction:

(4)

Reconstruire des coupes axiales (ou un volume) revient à déterminer les grandeurs fj pour chaque voxel j. Dans le cas d'un volume constitué de n3 voxels et donc de n coupes axiales de n2 pixels, il est nécessaire d'acquérir au moins n2 équations de projection du type (4) dans chaque coupe pour pouvoir résoudre de façon univoque un système de n2 équations linéaires à n2 inconnues. Cela est réalisé en procédant à des acquisitions de projections au moyen de sources de rayons X ou de détecteurs gamma collimatés qui tournent autour de l'axe craniocaudal du patient (TDM ou tomoscintigraphie), ou encore en utilisant des détecteurs de rayonnement gamma cylindriques (TEP). Une fois ces nombreuses projections acquises, le problème devient algorithmique et requiert la résolution d'un très grand système d'équations linéaires.

Conditionnement

En tomographie médicale, les résolutions des appareils d'imagerie conduisent le plus souvent à échantillonner les coupes à reconstruire sur 642 à 5122 pixels. Les ressources des calculateurs modernes sont capables de gérer de telles quantités d'information, à condition que l'algorithme utilisé pour résoudre de tels systèmes à plusieurs dizaines de milliers d'inconnues ne soit pas trop sensible à de petites fluctuations des mesures de projection. Or c'est le cas en tomographie médicale du fait de la proximité, donc de la similarité des diverses projections acquises. La figure 9.3 illustre ce problème dans le cas trivial de la reconstruction d'une coupe constituée de 2 pixels au moyen de deux projections seulement. Ces deux projections constituent un système linéaire de deux équations à deux inconnues dont la résolution graphique peut se faire en localisant le point d'intersection des deux droites Δ1 et Δ2 caractérisées par chacune des deux équations du système.


Figure 3: Mauvais conditionnement du problème tomographique illustré dans le cas où une petite fluctuation dans la mesure de la projection p1 modifie l'équation de la droite Δ1 en celle de Δ'1.

On constate sur l'exemple de la figure 9.3 que, si la solution est peu modifiée par une petite erreur sur l'équation de Δ1 lorsque les projections diffèrent (cercles dans la partie supérieure de la figure 9.3), des projections assez similaires telles que celles acquises en imagerie médicale peuvent conduire à une solution très différente en cas de fluctuation minime dans l'acquisition des projections ou dans le modèle des coefficients ri,j, ou encore en cas d'arrondis lors des calculs (partie inférieure de la figure 9.3). Ce mauvais conditionnement du problème tomographique va nécessiter l'utilisation d'algorithmes plus complexes que ceux classiquement utilisés en algèbre.

Modélisation

Deux opérateurs sont à la base de tous les algorithmes tomographiques actuellement utilisés en imagerie médicale. Le premier, l'opérateur de projection a été évoqué dans le paragraphe précédent. Il est possible sans perdre de généralité d'en préciser la nature sur un problème tomographique simple visant à reconstruire une coupe carrée constituée de 9 pixels de valeurs fj au moyen de six projections pi. L'opérateur de projection (figure 9.4) permet de calculer les projections p d'une image donnée f suivant la relation (4).


Figure 4: Opérateur de projection.

Dans cet exemple, six projections seulement (au lieu des neuf nécessaires) sont illustrées.

Un second opérateur appelé rétroprojection consiste à sommer au sein d'un pixel image j chacune des projections i auquel il participe, pondérées (par ri,j) (figure 9.5).


Figure 5: Opérateur de rétroprojection.

Les parties inférieures des figures 9.4 et 9.5 donnent un exemple de ces deux opérateurs dans l'hypothèse simple où tous les coefficients ri,j sont égaux à 1 si le pixel j se projette dans la raie i, et nuls sinon. Nous conserverons cette hypothèse simplificatrice dans les exemples de reconstruction qui suivent (figures 9.7 à 9.10).

Rétroprojection filtrée

Intuitivement, le principe de la rétroprojection est de répartir (« étaler ») les projections dans les différentes directions sur une image vierge, en les superposant (figure 9.6).


Figure 6: Rétroprojection filtrée. Les 2 premières colonnes montrent (de haut en bas) une image de synthèse, son sinogramme, puis le résultat de la rétroprojection d’un nombre croissant de projections. Les 2 colonnes de droite illustrent, sur une tomoscintigraphie cérébrale, l’opération de projection, celle de rétroprojection puis la rétroprojection filtrée d’un nombre croissant de projections.

Il est intéressant d'observer les similitudes entre les valeurs des pixels j d'une coupe et ceux d'une rétroprojection des P projections pi de ce pixel j normalisées par Piri,j.

Dans notre exemple (figure 9.7), on retrouve une valeur maximale pour le pixel central (40 dans la vraie coupe, 30 dans la rétroprojection normalisée), entourée d'une valeur intermédiaire (25 ou 22,5) et de 4 pixels aux quatre coins de l'image de valeur minimale (10 ou 15). Si ces valeurs sont proches, le contraste en revanche est dégradé dans la rétroprojection normalisée par rapport à l'image recherchée (contraste entre le centre et les coins de 40/10 = 4 dans l'image exacte et de 30/15 = 2 dans la rétroprojection normalisée). Cela nous amène à rechercher une première façon de résoudre le problème tomographique en filtrant initialement les projections afin d'en augmenter le contraste avant de les rétroprojeter. Elle conduit à remplacer chaque projection par une moyenne pondérée des projections voisines. En première approximation, cet algorithme appelé rétroprojection filtrée opère en rétroprojetant des projections doublées diminuées des deux tiers des valeurs des projections voisines. La figure 9.8 illustre ce procédé dans le cas simple de l'exemple donné en figure 9.4.


Figure 7: Illustration de l'algorithme de rétroprojection filtrée pour reconstruire la coupe proposée dans la figure 9.4.

Figure 8: Exemple de rétroprojection de projections normalisées. Compte tenu du modèle utilisé pour les coefficients ri,j , Σi ri, = 3 puisque chaque projection pi est générée par 3 pixels et p = 2 puisque chaque pixel se projette dans deux projections.

Reconstruction itérative

La simplicité de l'algorithme de rétroprojection filtrée explique que ce dernier a été universellement utilisé en TDM et en tomoscintigraphie jusqu'à la fin du XXe siècle. Dans les années 1970, exploitant des travaux initialement dus au mathématicien polonais S. Kaczmarz, une nouvelle famille d'algorithmes dits « itératifs » (ou algébriques) s'est peu à peu imposée en imagerie scintigraphique, puis en radiologie. Son développement, rendu possible par la puissance de calcul des ordinateurs modernes, a permis tout à la fois de réduire l'irradiation des patients en radiologie tout en se contentant, en particulier en TEP, de données de projections parfois incomplètes (ce que l'algorithme de rétroprojection filtrée ne permet pas). Ces techniques permettent en outre de mieux prendre en compte le mauvais conditionnement du problème tomographique (régularisation) et de mieux corriger certains artefacts inhérents aux acquisitions des projections (auto-atténuation en médecine nucléaire). Cette famille d'algorithme a en commun de déterminer la coupe compatible avec les projections effectivement acquises en évaluant un écart entre celles-ci et des projections calculées à partir d'une estimation de la solution, puis en corrigeant l'estimation de la coupe au moyen de l'écart constaté. Le prototype de ce type d'algorithme itératif, algebraïc reconstruction technique (ART), procède de la manière suivante : à partir d'une première coupe quelconque, l'algorithme ajuste étape par étape la coupe recherchée au moyen d'une rétroprojection normalisée par Σiri,j de l'écart entre les projections effectivement mesurées et celles déduites de la coupe en cours d'évaluation (figure 9.9).


Figure 9: Illustration de la reconstruction de la coupe proposée dans la figure 9.4 au moyen de trois itérations d'ART initialisé avec une coupe constituée de valeurs de pixels nulles.

L'algorithme itératif qui s'est imposé depuis les années 2000 opère itérativement comme ART, mais la correction est cette fois multiplicative et l'écart est évalué par le rapport entre projections acquises et estimées.

Plus précisément, cet algorithme fonctionne en multipliant chaque valeur inconnue de pixel i par la moyenne pondérée (par les coefficient ri,j) des rapports entre les projections j acquises et estimées qui concernent ce pixel i (figure 9.10). Il porte le nom de maximum likelihood-expectation-maximisation (ML-EM), d'OSEM dans sa version accélérée ou de MAP-OSEM dans sa version régularisée.


Figure 10: Reconstruction par ML-EM de la coupe proposée dans la figure 9.4. L'initialisation choisie pour l'itération 1 conduit aux projections attendues mais produit une coupe différente de celle obtenue par ART dans l'exemple précédent (figure 9.9). Cette absence d'unicité dans les solutions est liée à l'indétermination de notre système d'équations linéaires (six projections seulement pour neuf inconnues).

Print - copie Essentiel à retenir


  • Les images acquises en radiographie et en scintigraphie sont des images de projection.
  • Reconstruire une image en coupe revient à résoudre un grand système mal conditionné d'équations linéaires.
  • Les techniques de reconstruction incluent l'algorithme de rétroprojection filtrée (et autres techniques analytiques apparentées) et les techniques itératives (ou algébriques) parmi lesquelles ML-EM et sa variante OSEM sont les plus utilisées.
  • Les techniques itératives présentent divers avantages parmi lesquels la possibilité de reconstruire des coupes à partir de données de projection incomplètes, de diminuer l'irradiation du patient en TDM et de mieux corriger les artefacts d'atténuation en TEP et tomoscintigraphie.
  • L'algorithme ML-EM opère itérativement en multipliant chaque valeur de pixel j de la coupe par la moyenne pondérée (par les coefficient ri,j) des rapports entre les projections i acquises et estimées qui concernent ce pixel j.


Références

[1]Mariano-Goulart D.. Reconstruction tomographique en imagerie médicale. EMC (Elsevier Masson SAS, Paris), Radiodiagnostic - Principes et techniques d'imagerie ; 2015. 35-105-A-10.

[2]Mariano-Goulart D.. Introduction au traitement numérique des images médicales. EMC (Elsevier Masson SAS, Paris), Radiodiagnostic - Principes et techniques d'imagerie ; 2015. 35-100-A-10.

sides/ref-trans/imagerie_dfgsm/chapitre_9_reconstruction_tomographique.txt · Dernière modification: 24/05/2018 14:19 par college_radio_cerf